Inge Ed

Cuando se utiliza el teorema de Bayes, las creencias iniciales se conocen como anteriores, que luego se utilizan junto con nueva evidencia para producir nuevas creencias, que se conocen como posteriores... Ahora usaremos el teorema de Bayes para encontrar algo: las llaves. ¡Las volviste a perder!... ¿Y ahora donde están?

Sabes que has perdido las llaves en algún lugar de tu departamento, pero podrían estar en cualquiera de las habitaciones: La cocina living comedor, el dormitorio o el baño. Piensas en tus experiencias previas y deduces que hay un 70 % de posibilidades de encontrar las llaves en la cocina living comedor, un 20 % de posibilidades de encontrarlas en el dormitorio y un 10 % de posibilidades de encontrarlas en el baño.

Normalmente, cuando buscas tus llaves, te apresuras y comienzas a buscar. Pero hoy sientes que tu matemático interior te llama. Y entonces, como todos los buenos teóricos de la búsqueda bayesiana, decides dibujar un pequeño cuadro:

De nuevo piensas y deduces que por búsquedas anteriores que tu tasa de éxito de búsqueda es del 65%, lo que significa que la probabilidad de encontrar tus llaves mientras las buscas en la habitación correcta es de 0,65. Con esto en mente, comienzas a buscar tus llaves, comenzando por la  cocina living comedor.

Consigues encontrar algunas monedas, varias migajas y,.. ¡que coincidencia! un libro de teoría de búsqueda bayesiana, pero ninguna llave. ¿Qué deberías hacer después?... ¿Buscar en el dormitorio?

Es la siguiente habitación con mayor probabilidad, pero antes de precipitarte al tocador decides hacer otro cálculo.

El teorema de Bayes establece que, dado que ahora tienes una nueva evidencia, es decir, una búsqueda fallida, debes actualizar las probabilidades. Todavía es posible que tus llaves estén en la cocina living comedor, pero es mucho menos probable. Sabemos que la probabilidad de que una búsqueda tenga éxito "si se encuentra en la habitación correcta"... es 0.65, por lo que la probabilidad de que la búsqueda no tenga éxito es 0.35, calculada como 1 - 0.65 = 0.35. Esto significa que la probabilidad de que tus llaves sean encontradas en la cocina living comedor "y" la búsqueda que realizo no las haya encontrado esta dada por:

Intuitivamente, esto tiene sentido. Ya has buscado en la cocina living comedor, por lo que ahora debe ser menos probable que encuentres tus llaves allí. Tus posteriores han cambiado, así que puedes empezar a dibujar otro cuadro:

Hasta ahora solo has actualizado la probabilidad de encontrar tus llaves en la cocina living comedor, pero aún no has tocado las probabilidades de encontrar tus llaves ni en el dormitorio ni en el baño. Como ahora es menos probable que la cocina living comedor contenga tus llaves, la probabilidad de encontrar tus llaves en las otras dos habitaciones deben aumentar.

Sabemos con certeza que tus llaves están en algún lugar del departamento, por lo que las tres probabilidades en la tabla deberían sumar 1. Para hacer este ajuste simplemente dividimos cada número por 0.545 que es 0.245 + 0.2 + 0.1 y lo anotamos en el cuadro.

Observe que, como era de esperar, las tres probabilidades ahora suman 1. Sorprendentemente, aunque ya hayas intentado buscar en la cocina living comedor, es más probable que tus llaves estén allí que en cualquier otro lugar. Al combinar la alta probabilidad de que tus llaves estén en la cocina living comedor y su desagradable tasa de éxito de búsqueda, el teorema de Bayes dice que regreses y mires de nuevo.

Por suerte, durante tu segunda mirada encuentras tus llaves debajo de un cojín. Como dice el viejo refrán: "Tus llaves siempre están en el último lugar donde el teorema de Bayes te dice que mires". Y como recompensa por tu descubrimiento, aquí está el teorema de Bayes en todo su esplendor:

Sí, está lleno de símbolos, pero considerando lo que hemos logrado con él, es sorprendentemente simple y fabuloso al mismo tiempo. Tomémonos un momento para apreciarlo.

Esto es lo que significa el teorema: tanto A como B son eventos y el teorema de Bayes nos dice cómo calcular la probabilidad de que ocurra A dado que sabemos que B ya ocurrió, lo cual escribimos como P(A|B). El teorema dice que para calcular P(A|B), simplemente tenemos que multiplicar dos cosas y luego dividirlas por otra cosa. Las cosas que tenemos que multiplicar son P(B|A), que es la probabilidad de que B dado A, y P(A), que es la probabilidad de A. Luego dividimos todo esto por la probabilidad de que ocurra B, que se denota P(B).

Si te digo que la probabilidad de una primera búsqueda fallida en la cocina sala comedor es 0.545, obtenida sumando la probabilidad de una búsqueda fallida en la cocina sala comedor, la probabilidad de que las llaves estén en el dormitorio y la probabilidad de que las llaves en el baño, entonces el resto es sencillo. La probabilidad de encontrar sus llaves en la cocina sala comedor después de una búsqueda fallida en la cocina sala comedor se determina simplemente ingresando los números.

Y entonces, usando el teorema de Bayes obtenemos 0.45, igual que antes.