¿Indeterminado, indefinido o inexistente? Diferencias Esenciales en Matemáticas

En matemáticas, es común encontrarse con expresiones que no tienen un valor claro o directo. Sin embargo, no todas estas situaciones son iguales. Existen tres conceptos clave que ayudan a clasificar estas expresiones: indeterminado, indefinido y no existe. Aunque a veces se usan como sinónimos en el lenguaje cotidiano, en matemáticas tienen significados muy distintos y específicos. Entender sus diferencias es fundamental para desarrollar un razonamiento matemático sólido.

1. ¿Qué significa que algo es indefinido?

Una expresión indefinida es aquella para la cual no se ha asignado ningún valor porque no tiene sentido dentro del marco aritmético usual. En otras palabras, no está definida por las reglas estándar de la matemática.

Ejemplo clásico: la división entre cero

La expresión:

es indefinida. ¿Por qué? Porque no existe ningún número que multiplicado por 0 nos dé 5. Recordemos que en aritmética, dividir significa “¿qué número multiplicado por el denominador da el numerador?”. Pero cualquier número multiplicado por 0 es 0, nunca 5. Por tanto, no hay respuesta posible bajo las reglas convencionales, y se dice que la expresión está indefinida.

Otro ejemplo:

El logaritmo natural de 0 no está definido porque no existe ningún número real que, elevado a la base 𝑒, dé 0.

2. ¿Qué es una forma indeterminada?

Una expresión es indeterminada cuando su forma sugiere múltiples posibles resultados dependiendo del contexto o del proceso que la genera. A menudo aparece en el cálculo diferencial e integral, especialmente en límites. La indeterminación no implica que no haya una solución, sino que no se puede saber cuál es el resultado sin más análisis.

Ejemplo clásico:

Esta forma es indeterminada porque dependiendo de cómo se aproximen el numerador y el denominador al cero, el valor del cociente puede ser cualquier número, cero, infinito o incluso no existir. Por ejemplo:

Como ves, dependiendo de las funciones involucradas, el límite da resultados muy distintos. Por eso 0/0 es una forma indeterminada.

Otros ejemplos comunes de formas indeterminadas incluyen:

En estos casos, el contexto (como una expresión límite) es fundamental para determinar si existe un resultado definido o no.

3. ¿Qué significa que algo “no existe”?

En matemáticas, decir que algo no existe puede tener distintos significados según el ámbito. Puede referirse a que una solución no está definida dentro de un conjunto (por ejemplo, en los números reales), o a que el valor de una operación no se puede determinar ni siquiera con técnicas avanzadas como los límites.

Ejemplo 1: límite que no existe

Este límite no existe como número real. Aunque tiende a +∞ por la derecha y a −∞ por la izquierda, no hay un valor único al que se acerque, por tanto, decimos que el límite no existe.

Ejemplo 2: raíces negativas en los reales

En el conjunto de los números reales, esta expresión no existe, porque ningún número real elevado al cuadrado da un número negativo. Sin embargo, sí existe en los números complejos, donde se define 𝑖 = √-1. Esto muestra que la existencia depende del sistema numérico en el que se trabaje.