¿Qué es el Algebra? De Números a Letras

Para muchas personas, el momento en que las matemáticas pasan de ser bastante simples a ser incomprensibles es cuando empiezan a aparecer letras donde antes solo había números. Esto es álgebra. Entonces veremos qué significa y cómo hacerlo sin confundirnos. Y lo más importante, veremos por qué es útil.

Comencemos con un ejemplo. Supongamos que la cuenta de un restaurante asciende a $40 y se divide entre 8 personas. ¿Qué cálculo debemos hacer para determinar cuánto paga cada comensal? La respuesta es 40/8. Pero ¿Y si solo hubiera 6 personas? Entonces la respuesta es 40/60. ¿Y si la cuenta fuera en realidad de $140? Entonces el cálculo es 140/6. Cada una de estas opciones produce respuestas diferentes: a medida que cambian los números que introducimos, también cambian los que obtenemos.

Sin embargo, en cierto sentido, todos son el mismo cálculo. Cada vez, la cuenta total se divide entre el número de comensales. Podríamos escribir esto como:

Costo = Cuenta / NúmeroDeCenas

Esto tiene una ventaja sobre las versiones anteriores, ya que explica qué sucede y qué principio se aplica. Así, si se modifican las cifras, por un error en el conteo o por la omisión de un artículo en la cuenta, la misma idea sigue funcionando.

Otro ejemplo: Supongamos que estoy cocinando para un grupo de personas. ¿Cuántas papas asadas necesito? Razoné que cada comensal adulto comerá 2 y cada niño 1, y que debería tener 5 de sobra por si alguien quiere una segunda ración. Esta regla resulta ser: Papas = 2 × Adultos + Niños + 5. Luego, una vez aclarado el número de comensales, puedo poner en práctica este principio. Una vez que sé que habrá 5 adultos y 3 niños, puedo introducir estos números en mi regla para obtener 2 × 5 + 3 + 5 = 18 papas.

La gracia de las fórmulas

Lo que hemos explicado hasta ahora nos da la idea de las fórmulas algebraicas. Aunque no suelas escribir este tipo de reglas como lo hice antes, espero que estés de acuerdo en que este tipo de razonamiento es bastante normal y natural.

Bueno, esto es álgebra. La única diferencia cuando los expertos lo hacen es que, en lugar de escribir palabras en sus expresiones matemáticas, suelen reducirlas a una sola letra. ¿Cuál es el objetivo? ¡Para que todo quede ordenado y, por supuesto, para ahorrar espacio! (No siempre ha sido así: los matemáticos de épocas pasadas solían escribir extensa prosa entre sus ecuaciones).

Así pues, en el cálculo de la patata anterior, podría empezar llamando a al número de adultos y c al número de niños. Entonces, el número de patatas que necesito cocinar (llamémoslo p) debe cumplir:

p = 2 × a + c + 5

Es habitual omitir los signos × al escribir álgebra con letras, así que lo escribiríamos como:

p = 2a + c + 5

Lo que hemos obtenido es un ejemplo típico de una ecuación o fórmula. La ventaja de este método es que expresa una gran cantidad de datos diferentes en una sola línea.

Muchas operaciones matemáticas se expresan de esta manera. Por ejemplo, el área de un rectángulo se expresa multiplicando su longitud por su anchura. Podríamos escribir esta regla como A = l × w (donde A, l y w representan el área, la longitud y la anchura, respectivamente).

La capacidad de traducir oraciones a fórmulas algebraicas es uno de los pilares del pensamiento matemático, y vale la pena dedicarle tiempo.

De números a letras y viceversa: sustitución

Hemos visto cómo convertir oraciones  en fórmulas matemáticas. ¿Qué podemos hacer con estas fórmulas? En definitiva, probablemente esperamos obtener un número al final del cálculo, en lugar de un conjunto de letras y símbolos algebraicos.

Para extraer un número de una fórmula, primero necesitamos saber cómo introducir números en ella. Si tenemos la fórmula p = 2a + c + 5, y además se nos dice que a = 5 y c = 3, podemos sustituir los símbolos a y c por estos nuevos valores y luego calcular el valor de p:

p = 2 × 5 + 3 + 5 = 18

Lo que hemos hecho aquí es sustituir valores numéricos por algunas de las letras y luego calcular la solución final.

También vimos anteriormente que el área de un rectángulo viene dada por la fórmula A = l × w. Si un rectángulo en particular tiene valores de l = 8 cm y a = 3 cm, podemos sustituir estos valores en la fórmula para obtener un área de A = 8 cm × 3 cm = 24 cm².

La capacidad de sustituir valores en las fórmulas cobra cada vez mayor importancia en todas las ramas de la disciplina, a medida que las matemáticas se vuelven más complejas. Se podría objetar a los ejemplos anteriores diciendo que "multiplicar el largo por el ancho" es rápido y sencillo, y no necesita abreviarse como fórmula. Pero si queremos calcular el volumen de un cono, la fórmula "V=1/3hπr²" es mucho más concisa (y, con la práctica, más fácil de leer) que escribir "para hallar el volumen, multiplica el radio del círculo de la base por sí mismo y luego por la longitud del cono, luego divide por 3 y multiplica por el cociente entre la circunferencia del círculo y su diámetro".

Repasando el álgebra

Existen varias reglas que podemos usar para simplificar las fórmulas.. La idea es muy familiar cuando se expresa en términos numéricos: así como podemos sumar 2 + 3 = 5, de manera similar, podemos sumar 2x + 3x = 5x y 2a + 3a = 5a cuando se usan letras.

¿Por qué? Piensa en un número y duplícalo. Luego, súmale el número original triplicado. El resultado es cinco veces el número original. ¡Mágico! Para nada. Esto siempre funcionará, independientemente del número que elijas, y esta es la regla expresada por 2x + 3x = 5x. La x, como hemos visto, representa cualquier número. Esta regla es útil para simplificar el álgebra. Si tenemos una expresión como:

2 + 3x + 5x + 2 + 2x

entonces se puede simplificar uniendo los números simples: 2 + 2 = 4 y uniendo las x: 3x + 5x + 2x = 10x, para obtener una expresión mucho más ordenada: 4 + 10x.

Lo mismo ocurre con más letras. Si se nos presenta a + 4 + 2b − 5 + b + 3a, entonces podemos unir los números simples: 4 − 5 = −1, y las as: a + 3a = 4a y las b: 2b + b = 3b, obteniendo un resultado de 4a + 3b − 1.

¡Advertencia! Simplificar el álgebra siempre es una buena idea, siempre que sea posible. Pero uno de los errores más comunes es intentar simplificar cuando no es posible. Por ejemplo, si bien b + 2b se puede simplificar a 3b, si nos encontramos con la expresión b + b², no hay forma de simplificarla. No es igual a 2b ni a 2b². (¿Por qué no? Pues bien, si b = 10, entonces b + b2 = 110, mientras que 2b = 20 y 2b² = 200). De igual manera, si tenemos a + b + ab, esta no se puede simplificar y debe dejarse como está.

Álgebra y paréntesis

Un truco: ¡Piensa en un número, cualquiera! Suma 4 y duplica el resultado. Suma 2. Divide el resultado por la mitad y resta el número inicial. Y el resultado es… 5. ¡Alakazam!

¿Cómo funciona esto? Es una simple consecuencia del álgebra de paréntesis, que veremos en la última sección de este capítulo. ¡Veremos una explicación detallada más adelante!

Los paréntesis son útiles para evitar ambigüedades al escribir cálculos (ver El lenguaje de las matemáticas). Pero son aún más importantes cuando se trata de álgebra.

La idea clave es esta: supongamos que sumo 3 a 5 y luego duplico el resultado. Podríamos escribirlo como 2 × (3 + 5). No es casualidad que esto dé el mismo resultado que duplicar 3 y 5 individualmente y luego sumar los dos resultados: 2 × 3 + 2 × 5.

De hecho, este es exactamente el principio que se usa para hacer multiplicaciones largas: 10 × (50 + 2) es igual a 10 × 50 + 10 × 2. A esto lo llamamos expansión de paréntesis. La idea es la siguiente: cuando se suma (o resta) algo dentro de un par de paréntesis y algo fuera de los paréntesis multiplica (o divide) los paréntesis, esto es lo mismo que realizar las multiplicaciones (o divisiones) individualmente y luego sumar los resultados.

En álgebra, podríamos escribir a × (b + c) = a × b + a × c. Usando la convención de omitir los signos de multiplicación, esto se convierte en a(b + c) = ab + ac. Lo mejor es que esto es cierto independientemente de si a, b o c son iguales.

Por lo tanto, si nos encontramos con 2(x + 3 y), desarrollamos los paréntesis para obtener 2x + 6 y. De forma similar, x(x − 3y) = x² − 3xy. Ambos son casos especiales de la regla general.

Volvamos al truco con el que comenzamos la sección y llamemos x al número misterioso. La primera instrucción es sumarle 4, lo que da x + 4. Duplicarlo da 2(x + 4). En este punto, desarrollamos los paréntesis: 2x + 8. Sumando 2 más, obtenemos 2x + 10. A continuación, se nos pidió que redujéramos el resultado a la mitad, que podemos escribir como 1/2 (2x+10)  y, de nuevo, desarrollamos los paréntesis, obteniendo x + 5. La última instrucción fue restar el número que pensamos inicialmente, que, por supuesto, es x. Pero ahora está más que claro que restar x de x + 5 siempre nos dará 5. ¡No es tanto Alakazam como Álgebra!

¿Por qué no intentas inventar tus propios trucos en este sentido? En resumen, el álgebra es un lenguaje excelente para expresar reglas y leyes generales. ¡Solo recuerda cómo traducir entre el lenguaje y el álgebra!