¿Cómo Entender los Números Negativos? Ejemplos

Si la idea de los números negativos no te resulta natural, no te preocupes. ¡Estás en buena compañía! A los matemáticos y científicos les llevó miles de años que el concepto se volviera respetable. Pero si no tienes mil años de sobra, tampoco tienes por qué preocuparte. El principio es bastante simple, una vez que se comprende la idea básica.

La historia de los números negativos comienza en el mundo del comercio y aún hoy demuestra su gran utilidad. Imaginemos que he creado un negocio y reviso mis cuentas al final de mi primer mes de operaciones. Hay tres situaciones básicas en las que podría encontrarme. En primer lugar, si mi cuenta bancaria está en sobregiro, significa que estoy endeudado. A lo largo del mes, he gastado más dinero del que he recibido. Entonces, ¿Cuánto dinero tengo realmente en este momento? La respuesta correcta es "menos de cero".

La segunda posibilidad es que haya alcanzado el punto de equilibrio. Si mis gastos e ingresos se han compensado exactamente, entonces la cantidad de dinero en mi cuenta es cero. No estoy ni endeudado ni con crédito.

La tercera posibilidad es que haya entrado más dinero del que he gastado. En otras palabras, he obtenido ganancias y mi cuenta bancaria tiene crédito. (Por supuesto, esto es una simplificación desde una perspectiva empresarial, donde generalmente se distingue entre la inversión de capital al inicio de una empresa y los gastos de funcionamiento. Sin embargo, la idea esencial es, espero, bastante razonable). Antes, se consideraba que estas tres posibilidades eran esencialmente diferentes. Pero, con el tiempo, se comprendió que las tres podían representarse como posiciones diferentes en una misma escala. Hoy en día, a esta imagen la llamamos recta numérica.

La recta numérica

La recta numérica es una línea horizontal, con el 0 en el centro. A la derecha del 0, los números positivos se alinean en orden ascendente: 1, 2, 3, 4... A la izquierda del cero están los números negativos, que progresan hacia la izquierda: −1, −2, −3, −4...

A veces conviene poner los números negativos entre paréntesis, como este: (−1), (−2), (−3),... No hay nada complicado aquí; Es solo para evitar que los signos se confundan cuando empecemos a usar otros símbolos.

Observe que no existe el −0. Al menos sí lo existe, pero es lo mismo que el cero común: −0 = 0. Todos los demás números son diferentes de su negativo, por ejemplo, −1 ≠ 1.

Podríamos pensar en esta recta numérica como si representara mi cuenta bancaria. En cualquier momento, se encuentra en alguna posición a lo largo de esa recta. Si tengo un sobregiro de $15, estoy en −15. Si tengo un saldo de $20, estoy en +20. (Es habitual omitir el signo más y escribir simplemente "20", pero a veces es útil incluirlo para enfatizar). Ahora nos estamos centrando en los números enteros (positivos, negativos y 0). Pero entre estos se encuentran todos los decimales y fracciones habituales, que también existen en variedades positivas y negativas. 

Números negativos en el mundo real

Durante años, el propósito principal de los números ha sido contar cosas: 3 manzanas, 7 niños o 10 millas. Entonces, cuando los números negativos aparecen por primera vez, una pregunta natural es: ¿Cómo puedes tener −3 manzanas? Espero que ahora la respuesta sea plausible: tener −3 manzanas significa estar endeudado por 3 manzanas.

¿Cómo se relaciona la recta numérica con la idea habitual de la suma? Bueno, supongamos que ahora vas y recoges 3 manzanas. Pero, en lugar de añadirlas a tu despensa, se las pagas a la persona a quien le debes 3 manzanas. Entonces, después de recibir 3 manzanas, terminas sin ninguna: −3 + 3 = 0. Esto se puede representar en la recta numérica comenzando en −3 y luego desplazándote tres posiciones a la derecha para terminar en 0.

Los números negativos no son útiles solo en el comercio. Otro ejemplo es la temperatura. En la escala Celsius (o centígrada), 0 se define como el punto de congelación del agua. Si empezamos en 0 grados y ganamos calor, ascendemos a temperaturas más cálidas y positivas. Si perdemos calor, descendemos a temperaturas más frías y negativas. Un termómetro, entonces, no es más que una recta numérica, con un tubo de mercurio que indica nuestra posición actual.

Moviéndose a lo largo de la recta numérica

La recta numérica es útil para ver la suma y la resta en acción. Si estoy en 7, sumar 3 equivale a dar tres pasos a la derecha en la recta numérica: 7 + 3 = 10. De igual manera, restar 3 equivale a dar tres pasos a la izquierda: 7 − 3 = 4.

Esto no es precisamente nuevo. Pero el mismo principio se mantiene independientemente de la posición inicial. Así que, incluso si empezamos con un número negativo como −5, sumar 3 de nuevo equivale a dar tres pasos a la derecha: −5 + 3 = −2. De igual manera, restar 3 equivale a dar tres pasos a la izquierda: −5 − 3 = −8.

Negativos negativos

Arriba, vimos cómo usar la recta numérica para sumar o restar. Pero aún queda algo por entender: ¿cuál es la relación entre la resta y los números negativos? En cierto sentido, son lo mismo… pero necesitamos conocer los detalles.

El problema es que parece que usamos el mismo símbolo (−) para dos cosas diferentes: primero (como en “−3”), este símbolo indica una posición en la recta numérica a la izquierda del 0, lo que significa un número negativo; y segundo, para describir una forma de combinar dos números, como en "7 − 4". Este segundo uso corresponde a un movimiento hacia la izquierda a lo largo de la recta numérica.

Entonces, ¿Qué ocurre? Podríamos pensar que poner un signo menos delante de un número es como "darle la vuelta", usando el 0 como pivote. Por lo tanto, poner un signo menos delante del 7 significa que el 7 se da la vuelta, completamente al otro lado del 0, y cae en −7. Entonces, ¿Qué es “− −7” o “−(−7)”, como podríamos escribirlo? Bueno, al invertir −7, se obtiene 7. Por lo tanto: − (−7) = 7

El hecho de que dos signos menos se cancelen de esta manera es la clave para trabajar con números negativos.

Así, cuando nos enfrentamos a preguntas como “9 − (−3)”, los dos signos menos se cancelan, dando como resultado “9 + 3”. Pero cuando tenemos “9 + (−3)”, solo hay un signo menos, por lo que no se cancela, y es lo mismo que “9 − 3”. Esta es, entonces, la relación entre los números negativos y la resta: Restar 3 de 9 es lo mismo que sumar −3 a 9. Nótese que esto no es lo mismo que sumar −9 a +3.

Multiplicación

Hasta aquí la suma y la resta. ¿Qué hay de multiplicar números negativos? Para empezar, recuerda que la multiplicación es esencialmente una suma repetida. Por lo tanto, 4 × (−2) debería ser igual a (−2) + (−2) + (−2) + (−2), que es simplemente −2 − 2 − 2 − 2, es decir, −8. Para pensarlo en términos comerciales, si pierdo $2 cada día (es decir, si "gano −$2"), entonces después de cuatro días he perdido $8 (o "ganado −$8"). Esto ilustra que cuando multiplicamos un número positivo por uno negativo, el resultado es negativo. Por lo tanto, −5 × 2 = −10 y también 5 × −2 = −10. De forma similar, −1 × 4 = −4 y 1 × −4 = −4, y así sucesivamente.

El momento más confuso al trabajar con números negativos es cuando se multiplican dos números negativos: (−4) × (−2), por ejemplo. Pero ya hemos visto anteriormente cómo dos signos menos se cancelan mutuamente, y aquí ocurre exactamente lo mismo. Dos números negativos producen un resultado positivo: (−4) × (−2) = 8.

¿Cómo funciona esto en términos de intercambio? Supongamos que pierdo $2 al día (es decir, gano - $2). La pregunta es ¿Cuánto habré ganado o perdido en −4 días? Bueno, «en −4 días» debe significar hace 4 días. Y si he estado perdiendo dinero a un ritmo de 2 dólares al día, entonces hace 4 días debía de ser 8 dólares más rico que hoy, lo que coincide con el resultado anterior.

División

Cuando domines la multiplicación negativa, ¡dividir es fácil! Solo necesitamos multiplicar al revés. Para calcular (−6) ÷ (−3), tenemos que resolver (−3) × ? = −6. Las dos posibilidades obvias son 2 y −2, pero solo una puede ser correcta, así que ¿Cuál es? Bueno, sabemos que (−3) × (−2) = 6, que no es lo que buscamos. Pero (−3) × 2 = −6, tal como cabría esperar. Así que la respuesta es 2.