¿Cómo encontrar ángulos que involucran tangentes, cuerdas y ángulos centrales?
Esta propiedad es conocida como la "propiedad del ángulo entre la tangente y la cuerda" o teorema del ángulo formado entre una tangente y una cuerda.
1. Dibuja:
- Un
círculo con centro O.
- Un
punto A en la circunferencia.
- Una
tangente en A.
- Una
cuerda AB.
- Une
O con A y O con B.
Así formas el triángulo OAB.
2. Observaciones importantes:
- La línea tangente en A es perpendicular al radio OA, es decir:
- Queremos encontrar el ángulo entre la tangente y la cuerda AB, vamos a llamarlo β.
3. Mira el triángulo OAB:
Es un triángulo isósceles, porque OA = OB (radios del mismo circulo).
Entonces:
∠OAB = ∠OBA
4. Relación de los ángulos.
En cualquier triangulo:
suma de los ángulos internos = 180°
Aplicando en el triangulo OAB:
∠OAB + ∠OBA + Ө = 180°
pero como ∠OAB = ∠OBA, entonces:
2 ∠OAB + Ө = 180°
despejando:
5. Calculando el ángulo buscado β:
Recuerda que el punto A, la tangente y el radio OA forman un ángulo de 90°.
Por lo tanto, el ángulo entre la tangente y la cuerda AB es:
β = 90° - ∠OAB
sustituimos el valor de ∠OAB:
expandimos:
β = 90° - 90° + Ө/2
β = Ө/2
Conclusión:
El ángulo entre la tangente y la cuerda es igual a Ө/2.
🤔 ¿Y si hay un ángulo inscrito?
Un ángulo inscrito es el que tiene su vértice en la circunferencia (no en el centro).
Propiedad del ángulo inscrito:
ángulo inscrito = 1/2 x ángulo central que abarca el mismo arco.
Así que:
El ángulo inscrito ya es la mitad del ángulo central.'
El ángulo entre tangente y cuerda es igual al ángulo
inscrito que subtiende al mismo arco.
Es decir:
El ángulo entre tangente y cuerda es igual al ángulo inscrito.
¡Y eso es una propiedad muy bonita! Se puede demostrar
usando la misma idea antes.
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