¿Cómo Simular el Caos con una Calculadora?

La Teoría del Caos es un campo de las matemáticas que realmente cautivó la imaginación del público a finales del siglo XX. Se la conoce popularmente como el Efecto Mariposa desde que el meteorólogo Philip Merilees sugirió el título " ¿Acaso el aleteo de una mariposa en Brasil provoca un tornado en Texas?" para una conferencia impartida por Edward Lorenz.

La idea de un pequeño insecto que causa cataclismos meteorológicos a miles de kilómetros de distancia es algo que realmente te da para pensar y según muchos videos y películas lo dan como cierto pero si lees este articulo  ¿El Aleteo de una Mariposa Puede Provocar un Tornado a Kilómetros de Distancia?, podrás tener mas información de que si es cierto o no. En fin esto hace que la Teoría del Caos suene bastante complicada. De hecho, el mismo nombre de Teoría del Caos la hace parecer bastante complicada. Sin embargo, el principio fundamental es extraordinariamente simple e incluso se puede simular un sistema caótico con una calculadora de bolsillo.

Primero, veamos un sistema cuyo futuro se puede predecir fácilmente: Elija cualquier número estrictamente entre 0 y 1 e introdúzcalo en su calculadora. Luego presione "=".

Ahora escriba lo siguiente:

Si sigues presionando "=", obtendrás un número que se repite eternamente.

Prueba el proceso de nuevo, comenzando con un número diferente entre 0 y 1. ¿En qué número se queda esta vez? Prueba con otro. ¿Observas que ocurre lo mismo?

Lo que estás haciendo es que tu calculadora simule una secuencia iterativa con un punto fijo estable. Cada vez que presionas "=", la calculadora multiplica el resultado actual por dos, lo resta a uno y luego multiplica estos dos valores para obtener un nuevo resultado. Podemos representar esto algebraicamente de la siguiente manera:

Deberías haber descubierto que cualquier valor inicial entre 0 y 1 se estabiliza eventualmente en 0.5. La siguiente gráfica lo demuestra para algunas opciones iniciales diferentes:

¿Qué sucede si reemplazamos el 2 en la iteración por 3.2?

Inténtalo tú mismo eligiendo un número entre 0 y 1 y observa qué sucede. Deberías descubrir que, sea cual sea el valor inicial, obtienes una secuencia que alterna entre aproximadamente 0.513 y 0.799. Esta gráfica muestra cómo ocurre esto para algunos valores iniciales.

Esta secuencia alterna es perfectamente estable y continuará indefinidamente.

Si ahora reemplazamos el 3.2 en la iteración por 3.5, el patrón en la calculadora será un poco más difícil de detectar. Esto se debe a que la iteración recorre cuatro números, que son aproximadamente 0.383, 0.827, 0.501 y 0.875. Estos son los mismos independientemente del valor inicial:

A medida que aumentamos la constante en nuestra fórmula de iteración, el número de puntos en los ciclos se duplica cada vez más rápido. El siguiente diagrama lo demuestra. He marcado en azul las iteraciones que hemos probado hasta ahora y pueden ver que corresponden a ciclos con períodos 1, 2 y 4. Todas estas han sido secuencias que se vuelven en cierto punto predecibles oscilando entre valores periódicos.

Pero, si aumentáramos la constante (r) a 4, ocurre algo increíble, cuando llegamos en el diagrama de bifurcación a:

este se vuelve un completo desastre.

Al probarlo en la calculadora, verás que los números generados se descontrolan por todas partes. Sin embargo, esto no es lo emocionante. Lo realmente interesante se puede detectar si registras la secuencia que produces y observas qué sucede al cambiar el valor inicial, aunque sea mínimamente. Aquí tienes una gráfica de lo que ocurre al introducir 0.4, 0.400001 y 0.400002. Cada número es solo una millonésima mayor que el anterior. Puedes ver que los tres valores empiezan muy cerca uno del otro, pero las pequeñas diferencias se vuelven gradualmente más significativas hasta que, ¡BUM!, aproximadamente al pulsar el botón "=" por decimoséptima vez, los números se descontrolan. La gráfica casi parece una versión inversa de los tres anteriores.

Aquí estás viendo un sistema caótico en acción. El proceso iterativo que lo crea es maravillosamente simple y el hecho mismo de que tal sensibilidad a las condiciones iniciales pueda existir en matemáticas sencillas es una potente ilustración de la dificultad de hacer predicciones a largo plazo en algunos campos; el clima, por nombrar solo uno.

 Como conclusión  cuando el valor de (r) aumenta, el comportamiento de la secuencia cambia de manera radical:

• si 0 < r < 1: xn tiende a cero.
• si 1 < r < 3: xn se estabiliza en un valor fijo.
• si 3 < r < 3.57: xn oscila entre dos, cuatro, ocho... valores (comportamiento periódico)

si r > 3.57: el sistema se vuelve caótico: Pequeñas diferencias en el valor inicial generan resultados completamente distintos.  Esto es sensibilidad a las condiciones iniciales, una característica del caos.