¿Por qué 0/0 es indeterminado?

Hola a todos, bienvenidos. Hoy vamos a hablar de un tema que, aunque parece simple a primera vista, esconde un concepto profundo de las matemáticas: ¿por qué cero entre cero es una forma indeterminada? Seguramente alguna vez te has preguntado qué pasa si divides cero entre cero, y tal vez pensaste que debería dar cero, o uno… pero en realidad, no da ningún número concreto. Se considera indeterminado. Vamos a descubrir por qué.

¿Qué significa dividir?

Primero, recordemos qué significa dividir. Dividir es repartir o distribuir algo en partes iguales. Por ejemplo:

• Si tenemos 10 manzanas y las dividimos entre 2 personas, cada una recibe 5 manzanas.
• Matemáticamente: 10 ÷ 2 = 5.

Ahora, ¿Qué pasa si dividimos 0 entre 2?

• Es decir, tenemos 0 manzanas y queremos repartirlas entre 2 personas.
• Nadie recibe nada: 0 ÷ 2 = 0.

          Esto sí tiene sentido.

Pero ahora, ¿y si dividimos 0 entre 0?

Es decir, no tenemos ninguna manzana, y queremos repartirla entre… nadie, o entre cero personas.

Aquí empiezan los problemas.

Demostración lógica algebraica 

Imaginemos que intentamos decir que 0 ÷ 0 = 1. ¿Tiene sentido?

Recordemos: si a ÷ b = c, entonces a = b × c.

Entonces, si decimos 0 ÷ 0 = 1, entonces:

• 0 = 0 × 1, y eso es cierto.

Pero ahora, ¿Qué pasa si decimos 0 ÷ 0 = 2?

• Entonces 0 = 0 × 2, que también es cierto.

¿Y si decimos 0 ÷ 0 = 1000?

• 0 = 0 × 1000. También es cierto.

¡Entonces podríamos decir que 0 ÷ 0 puede ser cualquier número!

Y eso es un problema. No hay una única respuesta posible.

No es como dividir cualquier numero.

Esto no pasa con otras divisiones. Por ejemplo, 6 ÷ 2 = 3 y sólo puede ser 3.

No puede ser 4, ni 2, ni 10.

Porque 2 × 4 = 8, y eso no es 6. Solo 2 × 3 = 6.

Pero con cero entre cero, cualquier número multiplicado por cero da cero.

Entonces, no podemos saber cuál fue el número original.

Hay infinitas posibilidades.

¿Qué significa indeterminado”?

Cuando en matemáticas decimos que una operación es “indeterminada”, no estamos diciendo que no tiene sentido o que está mal planteada, sino que:

• No podemos determinar un único resultado.
• Hay muchas posibles respuestas, todas válidas en apariencia.

Esto es diferente a decir que no existe.

Por ejemplo, 5 ÷ 0 no existe, porque no hay ningún número que multiplicado por 0 dé 5.

Pero 0 ÷ 0 es indeterminado porque hay infinitos números que multiplicados por 0 dan 0.

 

Limites - un pequeño vistazo

Este tema se vuelve especialmente importante cuando hablamos de límites.

Por ejemplo, consideremos la siguiente sucesión de números que tiende a cero:

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5

Y otra sucesión distinta, también tendiendo a cero:

1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25

Ahora, observemos qué pasa si dividimos cada término de la primera sucesión entre el correspondiente término de la segunda:

Aquí los resultados se hacen cada vez más grandes: tienden al infinito. Parece entonces que 0/0 podría ser infinito.

Pero, ¿Qué pasa si ahora hacemos la división al revés, dividiendo los términos de la segunda sucesión entre los de la primera?

Ahora los resultados se hacen cada vez más pequeños: tienden a cero. En este caso, parece que  0/0 = 0.

Veamos un último ejemplo. Supongamos esta nueva sucesión que también tiende a cero:\

2, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5 

Y si la dividimos entre la primera sucesión que usamos:

Aquí el resultado siempre es 2, así que ahora parecería que  0/0 = 2.

Como ves dependiendo de qué sucesiones elijamos para representar los ceros del numerador y denominador, el resultado de su cociente puede ser cero, infinito, dos o cualquier otro número. Por eso decimos que la expresión $\frac{0}{0}$ es indeterminada, ya que su valor depende del modo en que se alcanza el límite.