¿Por qué 0.9 periódico es igual a 1?

A primera vista, decir que 0.999... (también conocido como 0.9 periódico) es igual a 1 puede parecer sorprendente. Muchas personas piensan que debe haber una pequeñísima diferencia entre ambos, pero esto no es cierto. Matemáticamente, 0.999... es exactamente igual a 1. A continuación, te explico por qué, usando varios enfoques que demuestran esta igualdad de forma rigurosa.

1. Demostración con fracciones

Una forma sencilla de verlo es usando fracciones. Considera la fracción:

Ahora, si multiplicamos ambos lados por 3:

Este ejemplo es muy poderoso porque muestra cómo una fracción perfectamente definida, como 1/3, se convierte en un número decimal periódico, y al multiplicarla de nuevo por 3 recuperamos el número 1, pero también obtenemos 0.999... como resultado del cálculo. Por lo tanto, 1 y 0.999... representan el mismo número.

2. Demostración con álgebra

Otra demostración clásica y sencilla es con álgebra. Supongamos que:

Multiplicamos ambos lados por 10:

Ahora restamos la ecuación original:

Como habíamos dicho que x = 0.999..., ahora tenemos:

Esta es una prueba algebraica que no depende de interpretaciones, solo de manipular las ecuaciones de forma correcta. Y el resultado es claro: 0.999... y 1 son iguales.

3. Demostración con límites

Desde una perspectiva más formal, podemos usar el concepto de límites, que es fundamental en el cálculo y análisis matemático.

Podemos escribir 0.999... como una serie infinita:

Esta es una serie geométrica infinita, donde cada término es 1/10 del anterior. En general, la suma infinita de una serie geométrica de la forma:

Sabemos que si |r| < 1, los términos de la serie se aproximan a cero (haciéndose cada vez más pequeños en magnitud) y la secuencia de sumas parciales Sn convergen a un valor límite de:

En nuestro caso, a=0.9 y r=0.1 Entonces:

Así que la suma infinita de esa serie decimal es exactamente 1. Por tanto, 0.999... = 1.

4. Argumento con precisión decimal

A veces la confusión viene de pensar que "0.999..." se queda "infinitesimalmente" cerca de 1, pero sin llegar a alcanzarlo. Es decir, que hay una pequeñísima diferencia entre ellos. Sin embargo, en los números reales no hay tal cosa como una distancia infinitamente pequeña entre dos números diferentes.

Si existiera un número entre 0.999... y 1, tendría que ser mayor que 0.999... y menor que 1. Pero no existe tal número, porque 0.999... ya ha agotado todas las cifras decimales posibles. No hay manera de escribir un número más cercano a 1 desde abajo sin que sea 0.999..., lo cual es 1.

5. En el sistema decimal

Otra forma de pensar en esto es entender qué significa un número como 0.999... en el sistema decimal.

Cada cifra decimal contribuye a una parte del número total:

• El 9 en la primera posición vale 0.9
• El 9 en la segunda vale 0.09
• El siguiente vale 0.009
• Y así sucesivamente

Cada nuevo 9 que agregas acerca más el número a 1, pero nunca te "pasas". A medida que agregas más nueves, la diferencia con 1 es cada vez menor:

• 0.9 está a 0.1 de 1
• 0.99 está a 0.01 de 1
• 0.999 está a 0.001 de 1
• ...

Pero cuando escribes infinitos nueves, la diferencia desaparece completamente. Matemáticamente, eso se traduce en decir que el límite de esa secuencia es 1. Y por eso se dice que 0.999... es igual a 1.

6. Lo que dicen las matemáticas formales

En matemáticas, especialmente en los números reales (el conjunto que incluye todos los números racionales e irracionales), 0.999... y 1 son literalmente el mismo número. No son "muy cercanos" ni "casi iguales", son exactamente iguales.

Esto también tiene sentido si consideramos cómo se define el sistema decimal: cada número tiene una representación decimal única, excepto en los casos donde un decimal periódico termina en nueves, como en este caso. Así, 1 puede escribirse como 1.000... o 0.999..., y ambas son representaciones válidas del mismo número.

Conclusión

La afirmación de que 0.999... = 1 no es un truco ni una paradoja, sino una verdad matemática bien establecida. Se puede demostrar de muchas formas: con fracciones, álgebra, series infinitas, límites, y entendiendo el sistema decimal. Aunque al principio pueda parecer extraño, es un ejemplo perfecto de cómo las matemáticas nos enseñan a mirar más allá de la intuición y confiar en el razonamiento lógico y riguroso. 0.999... no es casi 1. Es 1.