¿Por qué 0! no es 0?

Era una mañana cualquiera en la Escuela de Números Extraños. En el aula 314, el profesor Newton, un hombre sabio con lentes que nunca se limpiaban del todo, escribía en la pizarra una simple pero enigmática expresión:

0!

Desde el fondo del salón, el alumno más curioso —y más terco— levantó la mano con decisión. Era Tomás, el campeón del club de debates.

—¡Eso es cero! —exclamó sin titubear—. Cero factorial debe ser cero, porque no hay nada que multiplicar. Fin del misterio.

El aula se quedó en silencio. Algunos alumnos se miraron. Uno incluso dejó de masticar chicle.

El profesor sonrió, con esa sonrisa que usan los adultos cuando saben que viene una lección inolvidable.

—¿De verdad crees eso, Tomás? —preguntó, girándose lentamente.

—Sí, señor. Si uno multiplica cosas y no hay nada que multiplicar, el resultado debe ser cero. Como cuando tengo cero galletas… ¡No se puede hacer nada con eso!

El profesor se acercó al escritorio de Tomás y sacó una caja vacía.

—Bien. Digamos que esta caja representa tus galletas. Está vacía, ¿verdad?

—Ajá.

—Y ahora dime: ¿de cuántas maneras diferentes puedes organizar lo que hay en esta caja?

Tomás lo pensó. Frunció el ceño.

—Ninguna, porque no hay nada.

—¡Error común! —exclamó el profesor, alzando una ceja—. Sí hay una manera: dejarla como está. Una sola forma de no hacer nada. Es como una lista vacía. Solo hay una forma de tenerla vacía: simplemente no poner nada.

Tomás ladeó la cabeza.

—¿O sea que… hay una única forma de no organizar nada?

—Exactamente. Y en matemáticas, esa única forma se cuenta como uno. Por eso:

0! = 1

—¿Y eso no rompe las reglas?

—Al contrario —dijo Newton—. Hace que las reglas funcionen. Por ejemplo:

1! = 1 × 0! ⇒ 1 = 1 × 0 ! ⇒ 1 = 0!

—¿Y si fuera cero?

—Entonces 1 sería igual a 1 × 0, o sea 0. Y eso haría que todo el universo matemático colapsara en una paradoja infinita —dijo dramáticamente mientras apagaba las luces.

Tomás abrió los ojos como platos.

—¡Eso sí que sería un problema!

—Exacto. Así que, para evitar el caos, los sabios matemáticos decidieron hace siglos que 0! debía ser 1, no por capricho, sino porque las reglas lo exigen y la lógica lo respalda.

— Y si no te quedo claro ahí te va otro ejemplo:

— Supongamos que tienes una caja con 49 pelotas numeradas del 1 al 49 y quieres elegir un conjunto de r pelotas. No importa el orden en que las selecciones: elegir el número 10 seguido del 20 es lo mismo que elegir el 20 antes que el 10.

La fórmula que nos da el número de formas diferentes de elegir un subconjunto de tamaño r es el coeficiente binomial:

Por ejemplo, si quieres elegir 6 números de la lista de 49 (como en un sorteo tipo lotería), hay

formas distintas de hacerlo. ¡Una locura!

— Ahora, supongamos que quieres seleccionar los 49 números de la lista completa. Es decir, r = 49.

 Entonces:

Sabemos que sólo hay una forma de elegir todos los elementos disponibles, así que el resultado debe ser 1:

Esto solo es cierto si definimos que 0! = 1.

Si  0! fuera igual a cero, el denominador de la fracción se volvería cero, y la expresión estaría indefinida (porque no se puede dividir entre cero). Por lo tanto, tiene todo el sentido definir 0! = 1: asegura que nuestras fórmulas combinatorias funcionen correctamente en todos los casos, incluso en los extremos como elegir todos o ninguno.

Tomás se rascó la cabeza, luego sonrió.

—Bueno… supongo que aprendí algo hoy. ¡Nunca subestimes al cero!

—Ni al factorial —respondió el profesor con una reverencia.

Y desde ese día, cada vez que Tomás veía un  0!, ya no pensaba “eso es cero”, sino:

“¡Ah, ahí está ese único y silencioso orden del vacío!”