¿Qué son los Números Imaginarios? Ejemplos

 

Los números imaginarios son aquellos que pueden expresarse como múltiplos de la unidad imaginaria i, donde i se define como la raíz cuadrada de −1. Es decir:

𝑖 = √-1

Algunos ejemplos de números imaginarios son 2i, −3i y 5i. A diferencia de los números reales, los imaginarios no pueden representarse en la recta numérica tradicional, ya que no tienen una ubicación definida en ese eje.

Historia y nomenclatura

El concepto de números imaginarios fue introducido por primera vez en el siglo XVI por el matemático italiano Rafael Bombelli. En aquel entonces, la idea generó escepticismo y confusión entre los matemáticos, ya que implicaba la existencia de raíces cuadradas de números negativos, algo considerado imposible según el pensamiento matemático de la época.

El término "imaginario" surgió porque estos números no tenían una interpretación real en el sentido clásico. Se pensaba que eran una construcción abstracta, sin aplicación práctica. Con el tiempo, sin embargo, los números imaginarios demostraron ser herramientas fundamentales en muchos campos de la ciencia y la ingeniería, especialmente cuando se combinaron con los números reales para formar los números complejos.

Números complejos y notación

Un número complejo es la combinación de un número real y un número imaginario. Se escribe en la forma:

𝑎 + 𝑏𝑖

donde a y b son números reales, a es la parte real, y b𝑖 es la parte imaginaria. Por ejemplo, el número 3 + 4𝑖 es un número complejo, con 3 como parte real y 4i como parte imaginaria.

Importancia y aplicaciones prácticas

Aunque los números imaginarios fueron inicialmente considerados una curiosidad matemática, hoy en día tienen múltiples aplicaciones en el mundo real. Al combinarse con los números reales para formar números complejos, se convierten en herramientas esenciales en muchas disciplinas:

• Ingeniería eléctrica: Los ingenieros eléctricos los utilizan para analizar circuitos de corriente alterna (AC). En este contexto, se usa la notación  𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋, donde:

                - Z es la impedancia (resistencia total al flujo de corriente),
                - R es la resistencia,
                - X es la reactancia (debida a capacitores e inductores),
                - j es la unidad imaginaria (se usa j en lugar de i para evitar confusión con la corriente                              eléctrica, que suele representarse con i).

• Ingeniería de control: Se emplean en el análisis de estabilidad de sistemas dinámicos, donde los polos del sistema se representan en el plano complejo.
• Física: En mecánica cuántica y otras ramas, los números complejos son fundamentales para describir fenómenos como las funciones de onda y el comportamiento de partículas subatómicas.

Operaciones aritméticas básicas con números complejos

Las operaciones aritméticas con números complejos funcionan de manera similar a las del álgebra tradicional, teniendo en cuenta que 𝑖² = −1

Suma y resta

Para sumar o restar números complejos, se combinan los términos semejantes, es decir, se operan por separado las partes reales y las partes imaginarias.

Fórmula:

(𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖)

Ejemplo:

(2 + 3𝑖) + (4 + 5𝑖)= 6 + 8𝑖

Multiplicación

Para multiplicar números complejos, se utiliza la propiedad distributiva (como en el producto de binomios) y se recuerda que  𝑖² = −1

Fórmula:

(𝑎 + 𝑏𝑖)( 𝑐+ 𝑑𝑖) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) 𝑖

Ejemplo:

(3 + 2𝑖)(1 + 4𝑖) = (3 - 8) + (12 + 2)i = −5 + 14𝑖

División

Para dividir números complejos, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador, lo que elimina la parte imaginaria del denominador.

El conjugado de 𝑐 + 𝑑𝑖 es c - 𝑑𝑖

Fórmula:

(a + b𝑖) ​/ (c + d𝑖)= (a + b𝑖)(c − d𝑖)​ / (c² + d²)

Ejemplo:

(2 + 3𝑖​) / (1 – 4𝑖) = (2 + 3i)(1 + 4i) / (1 + 16) = (-10 + 11i) / 17

​Falacia de la igualdad con raíces de números negativos

Al trabajar con raíces cuadradas de números negativos y números imaginarios, no siempre se pueden aplicar directamente ciertas propiedades del álgebra de los reales. Un caso típico es la igualdad

√𝑎  x √𝑏 = √(𝑎 x 𝑏)

válida cuando 𝑎 y 𝑏 son reales no negativos, pero que falla si uno o ambos son negativos.

Ejemplo ilustrativo

Consideremos la expresión:

√-1 x √-1

1. Aplicando la definición principal:

√-1 = 𝑖

donde 𝑖 es la unidad imaginaria tal que 𝑖² = −1.

2. Cálculo correcto:

√-1 x √-1 = 𝑖 x 𝑖 = 𝑖² = -1

3. La falacia vendría de forzar la propiedad de los reales:

√-1 x √-1 = √(-1 x -1) = √1 = 1

lo cual es incorrecto en el contexto de números complejos, porque rompe la definición de la raíz principal.

Por qué ocurre la discrepancia

La propiedad √𝑎 √𝑏 = √(ab) asume que las raíces cuadradas tomadas son no negativas y que no hay ambigüedad de signo ni ramas múltiples.

En los complejos, cada número distinto de cero tiene dos raíces cuadradas; la «raíz principal» √𝑧  se define con un corte de rama (por convención, el ángulo del número complejo en  (−𝜋, 𝜋), y no todas las identidades reales se mantienen.

Propiedad interesante: El ciclo de i

Los números imaginarios presentan una propiedad cíclica única:

𝑖 = √−1​

𝑖²  = −1

𝑖³  = −𝑖

𝑖⁴ = 1

Y luego se repite:

𝑖⁵ = √−1 o 𝑖

𝑖⁶ = −1,…

Esta propiedad ayuda a simplificar expresiones que involucran potencias mayores de i.

¿Es el cero un número imaginario?

El cero es un número imaginario y también un número real. (Es el único número que es tanto real como imaginario). Esto se debe a que los números imaginarios pueden escribirse en la forma bi, donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad i²=−1. Cuando b=0, bi=0, lo cual se aplica tanto a los números reales como a los imaginarios.

El conjunto de los números imaginarios es en realidad un subconjunto del conjunto de los números complejos, donde un número complejo se escribe en la forma a+b𝑖, siendo a y b números reales. En el caso especial donde a=0 y b=0, a+b𝑖 es igual a 0, lo que convierte al 0 también en un número complejo.

En resumen:

• El 0 es un número imaginario porque puede expresarse como 0⋅𝑖.
• El 0 es un número real.
• El 0 también es un número complejo, en la forma 0 + 0𝑖.