¿Qué son los Números Primos? Ejemplos

La definición de un número primo es simple: un número primo es un número entero que no se puede dividir entre ningún otro número entero (excepto por 1 y por sí mismo). Por ejemplo, 3 es primo porque la única manera de escribir 3 como dos números enteros positivos multiplicados es como 3 × 1 (o 1 × 3, que es esencialmente lo mismo). Por otro lado, 4 no es primo porque 4 = 2 × 2.

Un número compuesto significa esencialmente un número "no primo", y 4 es el primer ejemplo. De igual manera, 5 es primo, pero 6 es compuesto. (Los números 0 y 1 son tan especiales que merecen categorías propias y no se clasifican como primos ni compuestos). Los primeros 25 primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Fue Euclides, alrededor del año 300 a. C., quien demostró por primera vez que la lista de primos es infinita. No existe un número primo mayor, por lo que se buscan números cada vez mayores. Sin embargo, es una tarea difícil, ya que determinar si un número muy grande es primo o compuesto es complicado. ¡El primo más grande conocido hasta ahora tiene 41,024,320 dígitos!

Los átomos de las matemáticas

¿Por qué nos entusiasman tanto los números primos? La razón por la que son tan importantes es porque son los bloques fundamentales a partir de los cuales se construyen todos los demás números. Aunque 6 no es primo, se puede descomponer en primos como 3 × 2. De igual forma, 8 se puede descomponer como 2 × 2 × 2 y 12 como 2 × 2 × 3. En este sentido, los números primos son como átomos matemáticos: todo lo demás se construye a partir de ellos.

Además, una regla de oro dice algo más. No solo todos los números se pueden descomponer en primos, sino que solo hay una manera de hacerlo. Así, una vez que sabemos que 1365 = 3 × 5 × 7 × 13, por ejemplo, se deduce que las únicas otras maneras de escribir 1365 como producto de números primos son reordenándolos: 5 × 3 × 13 × 7, por ejemplo. Así que sabemos automáticamente, sin necesidad de comprobarlo, que  expresiones como 5 × 5 × 5 × 11 no son válidas, ya que dan otro número (en este caso, 1375), y por lo tanto no son una descomposición correcta de 1365.

Pares e impares.

Los números pares son aquellos que aparecen en la tabla de multiplicar del 2: 2, 4, 6, 8, 10... Otra forma de decir lo mismo es que los números pares son aquellos que tienen 2 como factor, lo que significa que 2 puede dividir el número exactamente, sin dejar residuo. Otra forma de decir lo mismo es que los números pares son múltiplos de 2.

Los números impares, por supuesto, son los números restantes: los números que no tienen 2 como factor.

Factor y múltiplo son términos opuestos. Decir que 15 es múltiplo de 3 es lo mismo que decir que 3 es factor de 15. Ambas afirmaciones significan que 3 puede dividir 15 exactamente, sin dejar residuo. En otras palabras, 15 está en la tabla de multiplicar del 3.

Pruebas de divisibilidad

A menudo es útil saber si un número grande es múltiplo de un número pequeño en particular. Para algunos números pequeños, esto es tan fácil que podemos hacerlo sin pensar: 

• Los múltiplos de 2 son exactamente los números pares, es decir, todos los números que terminan en 2, 4, 6, 8 o 0.
• Los múltiplos de 5 son los números que terminan en 5 o 0, como 75 y 90.
• Los múltiplos de 10 terminan en 0, como 80, 250, 16700.

Para otros números pequeños, existen otras pruebas, un poco más sutiles:

• Se puede determinar si un número es múltiplo de 3 sumando sus dígitos. Si la suma es múltiplo de 3, entonces también lo era el número original. Entonces, 117 es múltiplo de 3, porque 1 + 1 + 7 = 9, que es múltiplo de 3. Por otro lado, 298 no es múltiplo de 3, porque 2 + 9 + 8 = 19.
• Un número es múltiplo de 6 si pasa las pruebas de 2 y 3. Por lo tanto, 528 es divisible por 6, ya que es par, y 5 + 2 + 8 = 15, que es divisible por 3. (Observe que la suma de los dígitos no tiene que ser divisible por 6). • La prueba de divisibilidad por 9 es similar a la prueba de 3: se suman los dígitos y, si el resultado es múltiplo de 9, también lo era el número original. Entonces, 819 es múltiplo de 9, ya que 8 + 1 + 9 = 18, pero 777 no lo es, ya que 7 + 7 + 7 = 21.
• Se puede saber si un número es múltiplo de 4 con solo mirar sus dos últimos dígitos. Si son múltiplos de 4, entonces también lo es el número completo. Por lo tanto, 116 es múltiplo de 4, simplemente porque 16 lo es. De manera similar, 5422 no es múltiplo de 4, ya que 22 no lo es.
• El número 8 es un poco extraño, y hay varias maneras posibles de proceder. Una es una variación de la prueba de divisibilidad por 4. (¡Otra es darse por vencido y usar una calculadora!) Si los últimos tres dígitos del número son múltiplos de 8, entonces también lo es el número original. Por lo tanto, 6160 es divisible por 8, ya que 160 lo es. El problema es que determinar si un número de tres dígitos es divisible por 8 no es algo que la mayoría de la gente pueda hacer a simple vista. La mejor opción es dividir el número de tres dígitos entre 2 y luego aplicar la prueba de divisibilidad entre 4. Por lo tanto, si queremos saber si 7476 es divisible por 8, primero tomamos los últimos tres dígitos (476), luego dividimos entre 2 (238) y, finalmente, observamos los dos últimos dígitos de ese número (38). En este caso, no es múltiplo de 4, por lo que el número no supera la prueba.
• El número de un solo dígito más complejo es el 7. Sin embargo, existe una prueba viable, que funciona así: para comprobar si 399 es divisible por 7, eliminamos el último dígito (9) y lo duplicamos (18). Luego, restamos ese número del número truncado (39 − 18 = 21). Si el resultado es divisible por 7, entonces también lo es el número original, que en este caso lo es. Con esta prueba, podríamos obtener 0: por ejemplo, si aplicamos la prueba a 147, obtenemos 14 − 14 = 0. En este caso, 0 sí cuenta como múltiplo de 7, por lo que el número pasa la prueba.
• ¡El número 11 tiene una prueba fantástica! Funciona así: recorre los dígitos, alternando entre sumas y restas. Si el resultado es divisible entre 11, también lo es el número original. Para comprobar 9158, obtenemos 9 − 1 + 5 − 8 = 5, que no es divisible entre 11, por lo que la prueba falla. Es posible obtener 0 de nuevo, o incluso números negativos, pero no hay problema. Contamos 0 y −11, y −22, y así sucesivamente, como múltiplos de 11. Por lo tanto, 1914 es un múltiplo de 11 ya que 1 − 9 + 1 − 4 = −11 es divisible por 11.

Descomposición de un número en primos

Anteriormente dijimos que todo número se puede descomponer en primos y vimos algunos ejemplos. Pero si nos dan un número mayor, como 308, ¿Cómo podemos averiguar cuáles son sus componentes primos? La idea es intentar dividir por números primos uno por uno, usando las pruebas que acabamos de ver. Para empezar, 308 es indudablemente par. Podemos dividirlo entre 2, lo que nos da 154. Este también es par, así que podemos dividirlo entre 2 de nuevo, para obtener 77. Ahora bien, este ya no es par, así que agotamos los 2 y pasamos al siguiente primo. Podríamos intentar dividir 77 entre 3, pero no pasa la prueba. También es fácil ver que 77 no es divisible entre 5. Por lo tanto, el siguiente primo de la lista es 7, y 77 sí es divisible entre 7. Dividirlo entre 7 nos da 11, que es primo. Así que hemos terminado. Al reunir todos los primos por los que dividimos, obtenemos: 308 = 2 × 2 × 7 × 11.

Los misterios de los primos

Los números primos son tan misteriosos como importantes, incluso hoy en día. Si observamos la secuencia de números primos, parece haber muy poco orden. A veces, los primos están muy cerca, como 11 y 13, y a veces hay espacios más grandes, como entre 199 y 211.

Hay muchos hechos aparentemente básicos sobre los números primos que aún desconocemos con certeza. Uno de ellos es la conjetura de Goldbach. En 1742, Christian Goldbach observó que todo número par a partir del 4 es en realidad la suma de dos números primos. Así que 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, … Si logras demostrar que la conjetura de Goldbach debe ser cierta para todo número par, habrás eclipsado a los matemáticos de los últimos dos siglos. Aunque se ha verificado hasta un límite enorme, pero nadie ha logrado demostrar aún que sea cierta para todos los números pares.

Resumen: Para comprender bien un número, necesitas saber qué otros números lo dividen. Los más importantes que debes comprobar son los átomos del mundo matemático: ¡los primos!