¿Cómo se Midió la Altura de la Pirámide de Keops?

¿Cómo se puede medir la altura de algo si no se puede alcanzar la cima con una cinta métrica? La respuesta es usar triángulos rectángulos, un truco descubierto hace miles de años. Construida con más de 2,3 millones de bloques de piedra, la Gran Pirámide de Egipto es enorme. Cuando el antiguo matemático griego Tales la visitó alrededor del año 600 a. C., preguntó a los sacerdotes egipcios su altura exacta, pero no se la dijeron. Así que decidió calcularla por sí mismo.

1. Tales se dio cuenta de que, durante un breve periodo de tiempo en ciertos días, cuando el sol estaba en un ángulo determinado, la longitud de su sombra era igual a su propia altura.

2. El cuerpo de Tales y su sombra creaban dos lados de un triángulo rectángulo imaginario.

3. Tales se dio cuenta de que, a esa hora del día, todo lo demás, incluida la Gran Pirámide, también proyectaba una sombra que formaba parte de su propio triángulo imaginario. La altura de la pirámide era un lado de este triángulo imaginario y el otro la longitud de la sombra más la mitad de su base.

4. Estos dos lados del triángulo imaginario eran iguales, así que, midiendo la longitud de la sombra más la mitad de la base de la Gran Pirámide, Tales también pudo calcular la altura.

Cuando el sol brillaba a 45°, creando el tercer lado del triángulo, Tales sabía que los otros dos lados tendrían la misma longitud (a). Su sombra sería tan larga como su altura. Tales sabía que su altura era de dos pasos (la medida estándar en la antigua Grecia), o 1,8 m (6 pies) en la actualidad. Sabía que la pirámide se comportaría de la misma manera, así que midió la sombra de la pirámide más la mitad de su base. Esto resultó en 163 pasos, o 146,5 m (481 pies), por lo que la pirámide tenía 146,5 m (481 pies) de altura.

TRIÁNGULOS SIMILARES

Posteriormente, otro matemático griego, Hiparco, desarrolló la idea de Tales. Se dio cuenta de que la altura de la pirámide podía calcularse a cualquier hora del día, no solo cuando el sol estaba a 45°. Tanto Tales como Hiparco se dieron cuenta de que el triángulo imaginario creado por la altura y la sombra de una persona, y el triángulo imaginario creado por la pirámide y su sombra, eran "triángulos semejantes". Los triángulos semejantes son idénticos, salvo por su tamaño. Tienen los mismos ángulos y proporciones.

Como los triángulos imaginarios creados por Hiparco y por la pirámide son semejantes, conocer la altura de uno nos permite calcular la altura del otro.

Podemos calcular la altura de la pirámide mediante una fórmula. La fórmula muestra  la relaciona de la altura de Hiparco (a) dividida entre la altura de la pirámide (b) la cual es igual a la sombra de Hiparco (x) dividida entre  la sombra mas la mitad de la base (y) de la pirámide. Esta formula se puede reorganizar para calcular la medida desconocida (b) haciendo el despeje correspondiente y de esta forma sabremos la altura de la pirámide sin importar la hora del día, obviamente debe haber sol para poder producir las sombras.

MUNDO REAL

Triangulación telefónica

Los triángulos todavía se utilizan hoy en día para medir distancias. La ubicación de tu smartphone se puede determinar mediante la "triangulación". Una torre de telefonía móvil puede indicar la distancia a la que se encuentra tu teléfono, pero no exactamente dónde estás. Pero si tres torres de telefonía diferentes saben a qué distancia estás y cada una dibuja un radio de esa distancia, la superposición entre los tres círculos determinará tu ubicación.

¿SABÍAS QUE...?

Midiendo con triángulos

Hiparco fue un brillante geógrafo, astrónomo y matemático. Se le conoce como el "Padre de la trigonometría", una rama de las matemáticas que estudia cómo se pueden usar los triángulos para medir cosas. Hoy en día, utilizamos la trigonometría en todo, desde el diseño de edificios hasta los viajes espaciales.